Question

已知椭圆C：M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

5

，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S_△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的离心率e=

3

5

，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16，求出几何量，即可得到椭圆M的方程；
（Ⅱ）利用S_△OPQ=4，可得点Q在与直线OP平行且距离为2

2

的直线l上，确定直线方程与椭圆方程联立，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，由题意可知道：

2a+2c=16 c a = 3 5

，解得

a=5 c=3

…（3分）
又因为a²=b²+c²，所以b=

a2-c2=4

所以椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

=1…（6分）
（Ⅱ）依题意|OP|=2

2

，直线OP的方程为y=x，…（7分）
因为S_△OPQ=4，所以Q到直线OP的距离为2

2

，…（8分）
所以点Q在与直线OP平行且距离为2

2

的直线l上，
设l：y=x+m，则

|m|

2

=2

2

，解得m=±4  …（10分）
当m=4时，由

y=x+4 x2 25 + y2 16 ＜1

，
消元得41x²+200x＜0，即-

200

41

＜x＜0 …（12分）
又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个．
当m=-4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．…（13分）
综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．