Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为K_PM、K_PN，当KPM•KPN=-

1

4

时，则椭圆方程为（　　）

• A、

  x2

  16

  +

  y2

  4

  =1
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  2

  =1
• C、x2+

  y2

  4

  =1
• D、

  x2

  4

  +y2=1

Answer 1

分析：由长轴长易求a值，设P（x₀，y₀），直线l方程为y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），由KPM•KPN=-

1

4

可得一等式，再由P在椭圆上可得一等式，由两式可消去y₀，由P为椭圆任意点可知该式与x₀无关，由此可求得b值．

解答：解：由长轴长为4得2a=4，解得a=2，
设P（x₀，y₀），直线l方程为y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），
则K_PM=

y0-kx1

x0-x1

，K_PN=

y0+kx1

x0+x1

，
由KPM•KPN=-

1

4

得，

y0-kx1

x0-x1

•

y0+kx1

x0+x1

=-

1

4

，即

y02-k2x12

x02-x12

=-

1

4

，
所以4y02=（4k²+1）x12-x02①，
又P在椭圆上，所以

x02

4

+

y02

b2

=1，即4y02=4b2-b2x02，代入①式得4b²-b2x02=（4k²+1）x12-x02，
所以4b²=（4k²+1）x12+（b²-1）x02，
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x₀无关，
所以b²-1=0，解得b=1，
所以所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
故选D．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查恒成立问题，解决本题的关键是正确理解“点P的任意性”，难度较大．