题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆x2+
=1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| y2 |
| 2 |
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
分析：（1）根据椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的焦距为4，可得c=2，利用与椭圆x2+
=1有相同的离心率，可求得a=2
，进而可得b=2，故可求椭圆的标准方程．
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程与椭圆方程联立
可得（1+2k2）x2+4kx-6=0，利用韦达定理有x1+x2=
，x1x2=
，要使右焦点F在圆内部，则有
•
＜0，用坐标表示可得不等式，从而可求出k的范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| y2 |
| 2 |
| 2 |
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程与椭圆方程联立
|
| -4k |
| 1+2k2 |
| -6 |
| 1+2k2 |
| AF |
| BF |
解答：解：（1）∵焦距为4，∴c=2…（1分）
又∵x2+
=1的离心率为
…（2分）
∴e=
=
=
，∴a=2
，b=2…（4分）
∴标准方程为
+
=1…（6分）
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（1+2k2）x2+4kx-6=0…（7分）
∴x1+x2=
，x1x2=
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴
•
＜0…（8分）
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…（9分）
∴(1+k2)•
+(k-2)•
+5=
＜0…（11分）
∴k＜
…（12分）
经检验得k＜
时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，
）…（13分）
又∵x2+
| y2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴e=
| c |
| a |
| 2 |
| a |
| ||
| 2 |
| 2 |
∴标准方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由
|
∴x1+x2=
| -4k |
| 1+2k2 |
| -6 |
| 1+2k2 |
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴
| AF |
| BF |
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…（9分）
∴(1+k2)•
| -6 |
| 1+2k2 |
| -4k |
| 1+2k2 |
| 8k-1 |
| 1+2k2 |
∴k＜
| 1 |
| 8 |
经检验得k＜
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量与解析几何的连续，由较强的综合性，解题的关键是将右焦点F在圆内部，转化为
•
＜0
| AF |
| BF |
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