Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点F₁、F₂与短轴一端点的连线互相垂直，M为椭圆上任一点，且△MF₁F₂的面积最大值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆A：x2+y2=

2

3

的切线l与椭圆C交于P、Q两点，求以坐标原点O及P、Q三点为顶点的△OPQ的外接圆面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦点F₁、F₂与短轴一端点的连线互相垂直，可得b=c=1，从而可求椭圆方程；
（2）l斜率不存在时，l方程为x=±

6

3

，此时OP⊥OQ；l斜率存在时，设l方程为y=kx+m，利用l与圆A：x2+y2=

2

3

相切，可得3m²=2（1+k²），联立l与椭圆方程，利用韦达定理，可得OP⊥OQ，于是△OPQ为直角三角形，其外接圆直径为|PQ|，可求|PQ|=2

(1+k2) (8k2+2) 3(1+2k2)2

，令1+2k²=t≥1，可得|PQ|=2

(t+1)(2t-1) 3t2

=2

1 3 (2+ 1 t - 1 t2 )

，利用配方法可求△OPQ外接圆最大面积．

解答：解：（1）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1中，由题意可知

b=c bc=1

…（4分）
∴b=c=1，∴a=

2

，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1…（6分）
（2）l斜率不存在时，l方程为x=±

6

3

，此时P(±

6

3

，±

6

3

)、Q(±

6

3

，?

6

3

)，∴OP⊥OQ…（7分）
l斜率存在时，设l方程为y=kx+m
∵l与圆A：x2+y2=

2

3

相切，∴

|m|

1+k2

=

2 3

，即3m²=2（1+k²）
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），联立l与椭圆方程

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消元可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0…（9分）
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2+y1y2=(1+k2)

2m2-2

1+2k2

+km•(

-4km

1+2k2

)+m2=

3m2-2(1+k2)

1+2k2

=0
∴OP⊥OQ…（11分）
于是△OPQ为直角三角形，其外接圆直径为|PQ|，
|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[( -4km 1+2k2 )2-4• 2m2-2 1+2k2 ]

∵3m²=2（1+k²），∴|PQ|=2

(1+k2) (8k2+2) 3(1+2k2)2

令1+2k²=t≥1，∴|PQ|=2

(t+1)(2t-1) 3t2

=2

1 3 (2+ 1 t - 1 t2 )

∵t≥1，∴0＜

1

t

≤1
∴

1

t

=

1

2

，即t=2，k2=

1

2

时，|PQ|取最大值
∴△OPQ外接圆最大面积为

3

4

π…（14分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是确定△OPQ为直角三角形．