Question

【题目】设，向量，，且.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点作直线交曲线于，两点（在，之间）.设，直线的倾斜角，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设，，点，由题意结合平面向量线性运算的坐标表示可得，再结合椭圆定义即可得解；

（2）当斜率不存在时，易得；当斜率存在时，设，联立方程组结合韦达定理可得，，再结合即可得，求得的取值范围后即可得解.

（1）设，，点，则，

则，，

所以，

所以点的轨迹是以、为焦点，长轴的椭圆，

所以该椭圆短半轴，

所以点的轨迹的方程为；

（2）当斜率不存在时，，易得，，

此时，，；

当斜率存在时，设，由可得，

代入，可得，，

设，横坐标分别为，，则，，

又，所以，

所以，，

所以，

化简得，

所以，解得或，

又在，之间，所以；

综上，实数的取值范围为.