Question

已知函数f（x）=3x²-kx-8，x∈[1，5]．
（1）当k=12时，求f（x）的值域；
（2）若函数f（x）具有单调性，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）只要将k=12代入解析式，然后配方，明确区间[1，5]被对称轴分为两个单调区间后的单调性，然后求最值；
（2）若使f（x）在区间[1，5]上具有单调性，只要将原函数配方，使区间[1，5]在对称轴的一侧即可，得到关于k的不等式解之．

解答： 解：（1）当K=12时，f（x）=3（x-2）²-20，x∈[1，5]，
f（x）在[1，2]是减函数，在[2，5]上是增函数，
∴f（x）_min=f（2）=-20，又f（1）＜f（5），且f（5）=7，
∴f（x）在[1，5]的值域为：[-20，7]；
（2）由已知，f（x）=3(x-

k

6

)2-

k2

12

-8，x∈[1，5]，
若使f（x）在区间[1，5]上具有单调性，
当且仅当

k

6

≤1，或者

k

6

≥5，
解得k≤6或者k≥30，
∴实数k的求值范围为（-∞，6]∪[30，+∞）．

点评：本题考查了二次函数闭区间上的值域的求法以及二次函数性质的运用；求二次函数闭区间的最值，必须注意对称轴与区间的位置关系．