Question

已知D、E分别是正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱AA₁和BB₁上的点，且A₁D=2B₁E=B₁C₁.求过D、E、C₁的平面与棱柱的下底面A₁B₁C₁所成的二面角的大小.

Answer 1

解析：如图，在平面AA₁B₁B内延长DE和A₁B₁交于点F，则F是面DEC₁与面A₁B₁C₁的公共点，C₁F为这两个平面的交线，

∴所求二面角就是D?C₁F?A₁的平面角.

∵A₁D∥B₁E，且A₁D=2B₁E，

∴E、B₁分别为DF和A₁F的中点.

∵A₁B₁=B₁C₁=A₁C₁，∴FC₁⊥A₁C₁.

又面AA₁C₁C⊥A₁B₁C₁，FC₁面A₁B₁C₁,

∴FC₁⊥面AA₁C₁C，而DC₁面AA₁C₁C，∴FC₁⊥DC₁.

∴∠DC₁A₁是二面角D-FC₁-A₁的平面角，由已知A₁D=B₁C₁=A₁C₁，

∴∠DC₁A₁=.

故所求二面角的大小为.