Question

过抛物线y²=4x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点．
（Ⅰ）求证：△AOB不是直角三角形；
（Ⅱ）当l的斜率为

1

2

时，抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形且B为直角（点B位于x轴下方）？若存在，求出所有的点C；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分情况证明：①当直线l斜率不存在时，容易证明；②当直线l斜率存在时，设直线AB方程为x=ky+1，与抛物线方程联立方程组消去x得y的二次方程，利用韦达定理可求

OA

•

OB

，由计算结果即可证明；
（Ⅱ）由已知可求得AB方程，与抛物线方程联立求得A，B坐标，假设抛物线上存在点C（t²，2t）使△ABC为直角三角形且B为直角，由

BA

•

BC

=0可求得t值，从而可求得C点坐标，经验证可得答案．

解答：（Ⅰ）证明：①当直线l斜率不存在时，显然△AOB不是直角三角形；
②当直线l斜率存在时，焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为x=ky+1，
代入抛物线y²=4x，得y²-4ky-4=0，则有y_Ay_B=-4，进而xAxB=

yA2

4

•

yB2

4

=1，
又|

OA

||

OB

|cos∠AOB=

OA

•

OB

=xAxB+yAyB=-3＜0，
所以∠AOB为钝角，即△AOB不是直角三角形．
（Ⅱ）AB方程：x-2y-1=0，代入抛物线y²=4x，求得A(9+4

5

，4+2

5

)，B(9-4

5

，4-2

5

)，
假设抛物线上存在点C（t²，2t）使△ABC为直角三角形且B为直角，
此时

BA

•

BC

=0，所以t2+t-(11-5

5

)=0，解得t1=2-

5

，对应点B，t2=-3+

5

，对应点C，
则存在C(14-6

5

，-6+2

5

)使△ABC为直角三角形，
故满足条件的点C只有一个，即C(14-6

5

，-6+2

5

)．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查向量在判断三角形形状中的应用，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，（Ⅱ）中要注意检验C点是否符合题意．