Question

【题目】已知平行四边形中，，平面平面，三角形为等边三角形，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若平面

①求异面直线与所成角的余弦值；

②求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①；②.

【解析】

（Ⅰ）先证明，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为零可得，，从而平面，再由面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅱ）设，利用，求得，①求出，的坐标，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；②利用向量垂直数量积为零列方程，分别求出平面的法向量与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式求得二面角的余弦值，进而可得结果.

（Ⅰ）

平行四边形中

∵，，

由余弦定理可得，

由勾股定理可得，

如图，以为原点建立空间直角坐标系

∴，，，，

∴，，

∴，，∴，．

又，∴平面．

又∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）∵，∴设

∴，．

∵平面，∴，∴，∴．

∴．

①，

∴

∴异面直线与所成角的余弦值为．

②设为平面的法向量，则

可得，

设为平面的法向量，则

可得，

∴，

∴二面角的正弦值为．