Question

【题目】在无穷数列中，，记前项中的最大项为，最小项为，令.

（1）若的前项和满足.

①求；

②是否存在正整数满足？若存在，请求出这样的，若不存在，请说明理由.

（2）若数列是等比数列，求证：数列是等比数列.

Answer 1

【答案】（1）①；②存在，，或；（2）证明见解析

【解析】

（1）①根据，先求出，再由，求出，即可得出；

②先假设存在满足条件的正整数满足题意，得出，设，研究其增减性，设，得，设，研究其增减性，进而可得出结果；

（2）因为，且、分别为前项中的最大项和最小项，所以，，设数列的公比为，显然，分别讨论，，，三种情况，即可得出结果.

解：①在中，令，得，解得，∴，

当时，，

综上.

显然为单调递增数列，所以，，所以.

②假设存在满足条件的正整数，则，所以，

设，则，所以，

由，得，∴，则，

当时，显然不成立，

当时，，

设，则，，得，

设，则恒成立，

所以数列单调递减，而，，，则时，恒成立，

故方程的解有且仅有，或，，

故满足条件的存在，，或.

（2）证明：因为，且、分别为前项中的最大项和最小项，

所以，，设数列的公比为，显然，

①当时，，得，

若，则，由与的含义可知与不可能同时成立，

故，则，则，，∴，∴，

所以数列是等比数列.

②当时，，得，

∴，∴恒成立，而，所以，∴恒成立，

∴，，代入得，即，

所以数列是等比数列.

③当时，，得，

∴，∴恒成立，而，所以，∴恒成立，

∴，，代入得，即，

所以数列是等比数列.

综上①②③，数列是等比数列.