Question

（本小题满分14分）已知关于的函数，其导函数为．记函数在区间上的最大值为．

（1）如果函数在处有极值，试确定、的值；

（2）若，证明：对任意的，都有；

（3）若对任意的、恒成立，试求的最大值．

Answer 1

（1）b＝－1，c＝3；（2）见解析；（3）k的最大值为

【解析】

试题分析：（1）【解析】
∵

由在处有极值，可得

解得，或 2分

若，，则，此时函数没有极值 3分

若，，则

此时当变化时，，的变化情况如下表：

	－				－
	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴ 当时，有极大值

故，即为所求 4分

（2）证法一：

当时，函数的对称轴位于区间之外

∴在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个

∴，即 8分

证法二（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外

∴在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个

假设，则 6分

将上述两式相加得: ，得，产生矛盾

∴ 8分

（3）【解析】

当时，由可知 9分

当时，函数的对称轴位于区间之内

此时，由，有

①若，则，则

于是

11分

②若，则，则，

于是， 13分

综上可知，对任意的、都有

而当，时，在区间上的最大值

故对任意的、恒成立的的最大值为 14分

考点：考查了利用导数研究函数的极值，利用导数求函数在闭区间上的最值．