Question

已知函数（x∈R ）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，，且a＞b，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简，结合正弦函数的周期公式、单调性求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）解法一：利用，求出B的值，利用余弦定理求出a的值，即可判定三角形的形状．
解法二：利用，求出B的值，利用正弦定理求出C的值，即可判定三角形的形状．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴．故函数f（x）的最小正周期为π；递增区间为（n∈N^*Z ）…（6分）
（Ⅱ）解法一：，
∴．
∵0＜B＜π，∴，
∴，即．…（9分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，∴，即a²-3a+2=0，
故a=1（不合题意，舍）或a=2．…（11分）
因为b²+c²=1+3=4=a²，所以△ABC为直角三角形．…（12分）
解法二：，
∴．
∵0＜B＜π，∴，
∴，即．…（9分）
由正弦定理得：，
∴，
∵0＜C＜π，∴或．
当时，；当时，．（不合题意，舍）        …（11分）
所以△ABC为直角三角形．…（12分）
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，三角函数的单调性，周期，三角形的形状的判定，正弦定理、余弦定理的应用，注意条件a＞b的应用，是易错点．