Question

14．已知椭圆G离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，两准线间距离为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，则椭圆G的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和准线方程解方程可得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到所求椭圆方程．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和准线方程，考查运算能力，属于基础题．