Question

已知函数f（x）=sin²x+sinxcosx．
（1）求其最小正周期；
（2）当0≤x≤

π

2

时，求其最值及相应的x值．
（3）试求不等式f（x）≥1的解集．

Answer 1

分析：利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用周期公式直接求函数f（x）的最小正周期；
（2）根据0≤x≤

π

2

求出2x-

π

4

的 范围，然后求出函数的最值以及相应的x值．
（3）根据三角表达式的求法，直接求不等式f（x）≥1的解集．

解答：解：函数f（x）=sin²x+sinxcosx=

1

2

-

1

2

cos2x+

1

2

sin2x=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

（1）函数的最小正周期：T=

2π

2

=π；
（2）0≤x≤

π

2

所以2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，所以函数ymax=

1+ 2

2

，x=

3π

8

；ymin=0，x=0；
（3）因为f（x）≥1，即

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

≥1，所以

2

2

sin(2x-

π

4

)≥

1

2

，
sin(2x-

π

4

)≥

2

2

，可得2kπ+

π

4

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

4

，k∈Z
所以不等式的解集为：[kπ+

π

4

，kπ+

π

2

]，k∈Z

点评：本题是中档题，考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数的最值，三角不等式的求法，考查计算能力．