Question

【题目】已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设函数，若存在不相等的实数，，使得，证明：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）对函数进行求导得，再对分三种情况进行讨论；

（2）先求出，再对进行求导研究函数的图象特征，当时，图象在上是增函数，不符合题；当时，再将问题转化为构造函数进行求解证明.

（1）函数的定义域为.

，

因为，所以，

①当，即时，

由得或，由得，

所以在，上是增函数， 在上是减函数；

②当，即时，所以在上是增函数；

③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函

综上可知：

当时在，上是单调递增，在上是单调递减；

当时，在.上是单调递增；

当时在，上是单调递增，在上是单调递减.

（2），，

当时， ，所以在上是增函数，故不存在不相等的实数，，使得，所以.

由得，即，

不妨设，则，

要证，只需证，即证，

只需证，令，只需证，即证，

令，则，

所以在上是增函数，所以，

从而，故.