Question

【题目】已知集合M是满足下列性质的函数的全体；在定义域内存在实数t，使得．

（1）判断是否属于集合M，并说明理由；

（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；

（3）若，求证：对任意实数b，都有．

Answer 1

【答案】（1）不属于,理由详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）利用f（x）＝3x+2，通过f（t+2）＝f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）＝3x+2不属于集合M；

（2）由属于集合M，推出有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）＝0有实解，对参数分类讨论，利用判断式求解即可；

（3）当f（x）＝2x+bx2时，方程f（x+2）＝f（x）+f（2）3×2x+4bx﹣4＝0，令g（x）＝3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．

解：（1）当时，方程

此方程无解，所以不存在实数t，使得，

故不属于集合M﹒

（2）由，属于集合M，可得

方程有实解

有实解有实解，

若时，上述方程有实解；

若时，有，解得，

故所求a的取值范围是．

（3）当时，方程

，

令，则在上的图像是连续的，

当时，，，故在内至少有一个零点

当时，，，故在内至少有一个零点

故对任意的实数b，在上都有零点，即方程总有解，

所以对任意实数b，都有．