Question

设各项均不为0的数列{a_n}的前n项之乘积是b_n，且λa_n+b_n=1（λ∈R，λ＞0）
（1）探求a_n、b_n、b_n-1之间的关系式；
（2）设λ=1，求证{}是等差数列；
（3）设λ=2，求证：b₁+b₂+…+b_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用各项均不为0的数列{a_n}的前n项之乘积是b_n，且λa_n+b_n=1，即可探求a_n、b_n、b_n-1之间的关系式；
（2）当n≥2时，将a_n=代入a_n+b_n=1中，即可证得结论；
（3）求出数列的通项，利用放缩法及等比数列的求和公式，即可证得结论．
解答：（1）解：由数列{a_n}的前n项之乘积是b_n，得a₁=b₁，a_n=（2分）
（2）证明：令n=1，得λa₁+b₁=1，又a₁=b₁，∴b₁=
∵λ=1，∴b₁=  （3分）
当n≥2时，将a_n=代入a_n+b_n=1中，得+b_n=1，则=+1  （4分）
∴数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列
（3）解：∵2a₁+b₁=1，a₁=b₁∴3b₁=1，b₁=  （5分）
当λ=2时，将a_n=代入2a_n+b_n=1中，得2+b_n=1
则=2+1  （6分）
∴+1=2（+1）（7分）
∴{+1}是以+1=4为首项，以2为公比的等比数列 （8分）
∴+1=2ⁿ⁺¹
∴
∵＜=
∴（n≥2）
∴b₁+b₂+…+b_n≤b₁+b₁+…+b₁=b₁•＜b₁•=
∴b₁+b₂+…+b_n＜．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等差数列的证明，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，有一定的难度．