题目内容
（2013•茂名二模）数列{an}的前n项和Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，（n=1，2，…）
（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；
（2）设bn=（n+1）•log3an+1，数列{
}前n项和Tn．在（1）的条件下，证明不等式Tn＜1；
（3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci•ci+1＜0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，在（1）的条件下，令cn=
（n=1，2，…），求数列{cn}的“积异号数”
（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；
（2）设bn=（n+1）•log3an+1，数列{
| 1 |
| bn |
（3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci•ci+1＜0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，在（1）的条件下，令cn=
| nan-4 |
| nan |
分析：（1）利用点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，可得an+1=2Sn+1，再写一式，两式相减，利用a1=t，数列{an}是等比数列，从而可求t的值；
（2）确定数列{
}的通项，利用裂项法求数列的和，即可证得结论；
（3）先确定c1c2=-1，再证明数列{cn}是递增数列，即可求数列{cn}的“积异号数”．
（2）确定数列{
| 1 |
| bn |
（3）先确定c1c2=-1，再证明数列{cn}是递增数列，即可求数列{cn}的“积异号数”．
解答：（1）解：因为点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，所以an+1=2Sn+1
所以n≥2时，an=2Sn-1+1
两式相减可得an+1-an=2an
所以an+1=3an（n≥2）
∵a1=t，数列{an}是等比数列，
∴
=
=3，∴t=1；
（2）证明：由（1）得bn=（n+1）•log3an+1=n（n+1）
∴
=
=
-
∴Tn=
+
+…+
=1-
+
-
+…+
-
=1-
＜1；
（3）解：由（1）知，an=3n-1
∴cn=
=1-
∴c1=1-4=-3，c2=1-
=
∴c1c2=-1
∵cn+1-cn=1-
-1+
=
＞0
∴数列{cn}是递增数列
∵c2=1-
=
＞0，∴n≥2时，cn＞0
∴数列{cn}的“积异号数”为1
所以n≥2时，an=2Sn-1+1
两式相减可得an+1-an=2an
所以an+1=3an（n≥2）
∵a1=t，数列{an}是等比数列，
∴
| a2 |
| a1 |
| 2t+1 |
| t |
（2）证明：由（1）得bn=（n+1）•log3an+1=n（n+1）
∴
| 1 |
| bn |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴Tn=
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+1 |
（3）解：由（1）知，an=3n-1
∴cn=
| nan-4 |
| nan |
| 4 |
| n•3n-1 |
∴c1=1-4=-3，c2=1-
| 4 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3 |
∴c1c2=-1
∵cn+1-cn=1-
| 4 |
| (n+1)•3n |
| 4 |
| n•3n-1 |
| 4(2n+3) |
| n(n+1)•3n |
∴数列{cn}是递增数列
∵c2=1-
| 4 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3 |
∴数列{cn}的“积异号数”为1
点评：本题考查数列的通项与求和，考查新定义，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．
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