题目内容

(2012•肇庆二模)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*
(1)若数列{an}是等比数列,求实数t的值;
(2)设bn=nan,在(1)的条件下,求数列{bn}的前n项和Tn
(3)设各项均不为0的数列{cn}中,所有满足ci•ci+1<0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”,令cn=
bn-4bn
(n∈N*),在(2)的条件下,求数列{cn}的“积异号数”.
分析:(1)根据数列的第n项与前n项和的关系可得n≥2时,有
an+1=2Sn+1
an=2Sn-1+1
,化简得an+1=3an (n≥2),要使n≥1时{an}是等比数列,只需
a2
a1
=
2t+1
t
=3
,从而得出t的值.
(2)由(1)得,等比数列{an}的首项为a1=1,公比q=3,故有 an=3n-1,从而得到bn=nan=n•3n-1,用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn
(3)由条件求得cn=1-
4
bn
,计算可得c1c2=-1<0,再由cn+1-cn>0可得,数列{cn}递增,由c2=
1
3
>0
,得当n≥2时,cn>0,由此求得数列{cn}的“积异号数”为1.
解答:解:(1)由题意可得,当n≥2时,有
an+1=2Sn+1
an=2Sn-1+1
,(1分)
两式相减,得 an+1 -an =2an,即an+1=3an (n≥2),(2分)
所以,当n≥2时,{an}是等比数列,要使n≥1时{an}是等比数列,
则只需
a2
a1
=
2t+1
t
=3
,从而得出t=1.(4分)
(2)由(1)得,等比数列{an}的首项为a1=1,公比q=3,∴an=3n-1.(5分)
bn=nan=n•3n-1,(6分)
Tn=1×30+2×31+3×32+…+(n-1)•3n-2+n•3n-1,①(7分)
上式两边乘以3得3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n-1)•3n-1+n•3n②,(8分)
①-②得-2Tn=30+31+32+…+3n-1-n•3n,(9分)
Tn=
2n-1
4
3n+
1
4
.(10分)
(3)由(2)知bn=n•3n-1,∵cn=1-
4
bn

c1=1-
4
1
=-3
c2=1-
4
2×3
=
1
3
,∴c1c2=-1<0.(11分)
cn+1-cn=
4
bn
-
4
bn+1
=
4(2n+3)
n(n+1)•3n
>0
,∴数列{cn}递增.(12分)
c2=
1
3
>0
,得当n≥2时,cn>0.(13分)
∴数列{cn}的“积异号数”为1.(14分)
点评:本题主要考查等比关系的确定,用错位相减法对数列进行求和,数列的第n项与前n项和的关系,数列与函数的综合,属于难题.
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