题目内容

已知a＞0，函数 $数学公式$ （其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项 $数学公式$ ，S_n是前n项和，证明：S_n-1＜lnn（n≥2）．

（Ⅰ）解：求导函数，令其等于0，即 $\text{[math]}$ ，可得x=a
若a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数，∴ $\text{[math]}$ ；
0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，∴f（x）_min=f（a）=lna；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，a=1时，函数f（x）在定义域的最小值为0，∴ $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上成立
令 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
令k=1，2，3，…，（n-1），可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$
∵数列{a_n}的通项 $\text{[math]}$ ，S_n是前n项和，∴叠加，可得S_n-1＜lnn（n≥2）
分析：（Ⅰ）求导函数，令其等于0，可得x=a．若a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]是减函数；0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，a]是减函数，[a，e]是增函数，故可得函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）先证明 $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上成立，令 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，再令k=1，2，3，…，（n-1），叠加，即可得出结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，解题的关键是正确求导函数．