Question

已知a＞0，f（x）=a•e^x是定义在R上的函数，函数f-1(x)=ln

x

a

(x∈(0，+∞))，并且曲线y=f（x）在其与坐标轴交点处的切线和曲线y=f^-1（x）在其与坐标轴交点处的切线互相平行．
（1）求a的值；
（2）设函数g(x)=

x-m

f-1(x)

，当x＞0且x≠1时，不等式g(x)＞

x

恒成立，求实数m的取值集合．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可知：函数f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲线y=f（x）只与y轴有交点M（0，a）；函数f-1(x)=ln

x

a

(x∈(0，+∞))，所以曲线y=f^-1（x）只与x轴有交点N（a，0）．利用在其与坐标轴交点处的切线互相平行，可得f'（0）=[f^-1（a）]'，从而可求a=1．
（2）由（1）可得g(x)=

x-m

lnx

(x∈(0，1)∪(1，+∞))，从而有当x＞0且x≠1时，g(x)＞

x

恒成立?

x-m

lnx

＞

x

恒成立．①当x∈（0，1）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx；②当x∈（1，+∞）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx
从而可解．

解答：解：（1）由已知条件可知：函数f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲线y=f（x）只与y轴有交点M（0，a）；函数f-1(x)=ln

x

a

(x∈(0，+∞))，所以曲线y=f^-1（x）只与x轴有交点N（a，0）．
而f′(x)=a•ex，[f-1(x)]′=

1

x

，
有    f'（0）=[f^-1（a）]'，即  a=

1

a

⇒a=±1．
而a＞0，即a=1．
（2）由（1）可得g(x)=

x-m

lnx

(x∈(0，1)∪(1，+∞))，从而有
当x＞0且x≠1时，g(x)＞

x

恒成立?

x-m

lnx

＞

x

恒成立．
①当x∈（0，1）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx
令φ(x)=x-

x

lnx，x∈(0，1]，则φ′(x)=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

再令h(x)=2

x

-lnx-2，x∈(0，1]，则h′(x)=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

当x∈（0，1）时，h′(x)=

x -1

x

＜0，所以h（x）＞h（1）=0，进而φ′(x)=

h(x)

2 x

＞0
所以有φ（x）＜φ（1）=1，这样此时只需m≥1即可；
②当x∈（1，+∞）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx
令φ(x)=x-

x

lnx，x∈[1，+∞)，则φ′(x)=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

再令h(x)=2

x

-lnx-2，x∈[1，+∞)，则h′(x)=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

当x∈（1，+∞）时，h′(x)=

x -1

x

＞0，所以h（x）＞h（1）=0，进而φ′(x)=

h(x)

2 x

＞0
所以有φ（x）＞φ（1）=1，这样此时只需m≤1即可；
根据题意，①②两种情形应当同时成立，因此m=1，即其取值集合为{1}

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，有一定的难度．