Question

已知函数（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）将代入原函数求，即得切点坐标，先将原函数求导再将代入导函数求，根据导数的几何意义可知即为切线在点处切线的斜率，根据直线方程的点斜式即可求得切线方程。（Ⅱ）先求导数，及其零点，判断导数符号，即可得原函数增减区间。（Ⅲ）时可将变形为，若存在使不等式成立，则只需大于在上的最小值即可。即将不等式问题转化为求函数最值问题
试题解析：解：（Ⅰ）.                      1分
得，                                2分
所以曲线在点处的切线方程为.       3分
（Ⅱ）.
令，即，解得.                     5分
时，，时，，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为.       7分
（Ⅲ）由题意知使成立，即使成立；8分
所以                   9分
令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，                                   12分
所以.                                     13分