Question

已知函数．
（1）证明函数在区间上单调递减；
（2）若不等式对任意的都成立，（其中是自然对数的底数），求实数的最大值．

Answer 1

（1）函数在区间上单调递减；（2）.

试题分析：（1）对原函数进行求导，难易判断正负，再令，并求导，从而判断出在上单调递减，∴，即，所以函数在区间上单调递减；（2）对不等式两边进行取对数，分离出参数，构造函数并求导，在令分子为一个新的函数求导，并利用（1）得时，，所以函数在上单调递减，∴
所以，所以函数在上单调递减.所以，所以函数在上最小值为，即，则的最大值为.
试题解析：（1），令，
，所以函数在上单调递减，∴，
∴，∴函数在区间上单调递减.
（2）在原不等式两边取对数为，由知
设
，
设，
，
由（1）知时，，
∴函数在上单调递减，∴
∴，∴函数在上单调递减.
∴，
∴函数在上最小值为，即
∴的最大值为.