Question

已知函数，，其中的函数图象在点处的切线平行于轴．
（1）确定与的关系；    （2）若，试讨论函数的单调性；
（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）证明：.

Answer 1

（1）；（2）当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．（3）详见解析。

试题分析：（1）由导数的几何意义可知，即可得与的关系。（2）先求导数，及其零点，判断导数符号，即可得原函数增减变化，注意分类讨论。（3）由可得。然后分别证明不等式的左右两侧，两侧不等式的证明均需构造函数，再利用函数的单调性证明。
试题解析：解：（1）依题意得，则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得：
∴                                              4分
（2）由（1）得
∵函数的定义域为 
①当时，
由得，由得，
即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；
②当时，令得或，
若，即时，由得或，由得，
即函数在，上单调递增，在单调递减；
若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；
若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增.  
综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；
当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．
9分
（3）依题意得，证，即证
因，即证. 令（），即证（）
令（）,则
∴在（1，+）上单调递增，
∴=0，即（）①
再令m(t)="lnt" t+1,= 1<0, m(t)在（1，+∞）递减，
∴m(t)<m(1)=0，即lnt<t 1  ②
综合①②得（），即．            14分