Question

15．已知函数f（x）=cos⁴x-2cossinx-sin⁴x+1
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）首先，根据二倍角公式，化简函数解析式得到f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1，然后确定其周期和最大值即可；
（2）直接结合余弦函数的单调区间进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cos⁴x-2cossinx-sin⁴x+1
=（cos²x+sin²x（cos²x-sin²x）-2sinxcosx+1
=cos²x-sin²x-sin2x+1
=cos2x-sin2x+1
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1
∴f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1
∴周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
最大值为：1+$\sqrt{2}$．
（2）令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5π}{8}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{8}$+kπ，
∴f（x）的单调递增区间[-$\frac{5π}{8}$+kπ，-$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈Z）．

点评 本题重点考查了二倍角公式、辅助角公式、三居函数的图象与性质等知识，属于中档题．