Question

20．是否存在常数a，b，使等式$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a{n}^{2}+n}{bn+2}$对于一切n∈N^*都成立？若存在，用数学归纳法证明之，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 假设存在常数a，b，使等式对于一切n∈N^*都成立．取n=1，2可得a，b的值，再用数学归纳法证明，数学归纳法的一般步骤是，第一步验证第一项是否成立，第二步假设n=k时候结论成立，去验证n=k+1时候结论是否成立．若都成立即得证．

解答 解：若存在常数a，b，使等式对于一切n∈N^*都成立．
取n=1，2可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}=\frac{a+1}{b+2}}\\{\frac{1}{3}+\frac{4}{15}=\frac{4a+2}{2b+2}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=4．
则$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{{n}^{2}+n}{4n+2}$对于一切n∈N^*都成立．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，即$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{k}^{2}}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{{k}^{2}+k}{4k+2}$对于一切n∈N^*都成立．
则当n=k+1时，$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{k}^{2}}{（2k-1）（2k+1）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{{k}^{2}+k}{4k+2}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$，
=（k+1）•$\frac{k（2k+3）+2（k+1）}{2（k+1）（2k+3）}$，
=（k+1）•$\frac{（2k+1）（k+2）}{2（2k+1）（2k+3）}$，

=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$，
=$\frac{（k+1）^{2}+（k+1）}{4（k+1）+2}$．
也就是说当n=k+1时，等式也成立．
综上所述：可知等式对于一切n∈N^*都成立．

点评 本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题．