Question

已知函数
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）若存在，满足成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

(1) (2) <
(3)

试题分析：解：(Ⅰ)             
在处的切线方程为：
即                    3分
(Ⅱ)     即  令   
时， ，时，
在上减，在上增
又时，的最大值在区间端点处取到.
 

  在上最大值为，
故的取值范围是：<.                    8分
（Ⅲ）由已知得时恒成立，设 
由(Ⅱ)知，当且仅当时等号成立，
故从而当
即时，，为增函数，又
于是当时， 即 时符合题意。11分
由可得，从而当时，

故当时，，为减函数，又，
于是当时， 即
故，不符合题意.
综上可得的取值范围为                          14分
点评:解决的关键是利用导数的几何意义求解切线方程以及根据导数的符号判定函数单调性，得到函数的最值，属于基础题。