Question

函数f（x）=

x2+4

+

(x-2)2+1

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：若x＜0，则f（x）＞f（-x）．因而，当f（x）取最小值时，必然有；若x≥0，可作线段AB=2，AC⊥AB，DB⊥AB，且AC=2，BD=1．对于AB上的任意一点O，令OA=x，则OC=

x2+4

，OD=

(x-2)2+1

，那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小．

解答： 解：如图，作线段AB=4，AC⊥AB，DB⊥AB，且AC=2，BD=1，
对于AB上的任意一点O，令OA=x，则
OC=

x2+4

，OD=

(x-2)2+1

，
设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O．
此时，OC+OD=OE+OD=DE，
作EF∥AB与DB的延长线交于F，
在Rt△DEF中，易知EF=AB=2，DF=3，
所以DE=

22+32

=

13

，
因此，函数f（x）=

x2+4

+

(x-2)2+1

的最小值是

13

．
故答案为：

13

．

点评：本题考查了函数的最值问题，解题的关键是将最值问题转化为轴对称-最短路线问题．