题目内容

点Pn（xn，yn）在曲线C：y=e-x上，曲线C在点Pn处的切线ln与x轴相交于点Qn（xn+1，0），直线tn+1：x=xn+1与曲线C相交于点Pn+1（xn+1，yn+1），（n=1，2，3，…）．由曲线C和直线ln，tn+1围成的图形面积记为Sn，已知x1=1．
（Ⅰ）证明：xn+1=xn+1；
（Ⅱ）求Sn关于n的表达式；
（Ⅲ）记数列{Sn}的前n项之和为Tn，求证：（n=1，2，3，…）．

【答案】分析：（Ⅰ）对函数y=e-x进行求导，推断出切线ln的斜率，则可求得切线ln的方程把y=0代入即可求得，即xn+1=xn+1．
（Ⅱ）根据根据x1=1及（1）中的递推式可求得xn，进而利用定积分的公式和性质求得答案．
解答：（Ⅰ）证明：因为y=e-x，所以y'=-e-x，
则切线ln的斜率，所以切线ln的方程
为，令y=0，
得，即xn+1=xn+1
（Ⅱ）解：因为x1=1，所以xn=n，
所以
点评：本题主要考查了数列的递推式及定积分的性质与计算．考查了学生综合把握所学知识的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，
12
y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．
在平面直角坐标系中，定义
xn+1=yn-xn
yn+1=yn+xn
（n∈N）为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换为“γ变换”，已知P1（0，1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn），Pn+1（xn+1，yn+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设an=|PnPn+1|，数列{an}的前n项和是Sn，那么
lim
n→∞
Sn
an
的值为（　　）
A、
2
B、2-
2
C、2
D、1+
2
在直角坐标系中，定义：(xn，yn)
11
1-1
=(xn+1，yn+1)，即
xn+1=xn+yn
yn+1=xn-yn
（n∈N*）为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换．我们把它称为点变换（或矩阵变换）．已知P1（1，0）．
（1）求直线y=x在矩阵变换下的直线方程；
（2）设dn=|OPn|2（n∈N*），求证：dn为等比数列，并写出dn的通项公式；
（3）设P2（x2，y2）…，Pn（xn+1，yn+1）（n∈N*）是经过点变换得到的一列点．求数列xn，yn的通项公式．
双曲线x2-y2=8的左右焦点分别为F1，F2，点Pn（xn，yn）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，则x2012的值是（　　）
（2009•闵行区一模）在平面在直角坐标系中，定义
xn+1=yn-xn
yn+1=yn+xn
（n∈N*）为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），Pn+1（xn+1，yn+1）（n∈N*）是经过点变换得到的一列点．设an=|PnPn+1|，数列{an}的前n项和为Sn，那么S20的值为（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网