(2009•闵行区一模)在平面在直角坐标系中.定义xn+1=yn-xnyn+1=yn+xn(n∈N*)为点Pn(xn.yn)到点Pn+1(xn+1.yn+1)的一个变换.我们把它称为点变换．已知P1(0.1).P2(x2.y2).-.Pn(xn.yn).Pn+1(xn+1.yn+1)(n∈N*)是经过点变换得到的一列点．设an=|PnPn+1|.数列{an}的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

（2009•闵行区一模）在平面在直角坐标系中，定义

xn+1=yn-xn

yn+1=yn+xn

（n∈N^*）为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n∈N^*）是经过点变换得到的一列点．设a_n=|P_nP_n+1|，数列{a_n}的前n项和为S_n，那么S₂₀的值为（　　）

A．1023+511

2

B．

1023(2+

2

)

1024

C．1023(1+

2

)

D．1023(

2

-1)

分析：由题设知p₁（0，1），P₂（1，1），p₃（0，2），P₄（2，2），P₅（0，4），…∴a₁=|p₁P₂|=1，a₂=|p₂P₃|=

2

，a₃=|p₃P₄|=2，a₄=|p₄P₅|=2

2

，…a_n=

2

^n-1，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1-(

2

)n

1-

2

，∴故可求S₂₀的值

解答：解：由题设知p₁（0，1），P₂（1，1），p₃（0，2），P₄（2，2），P₅（0，4），…
∴a₁=|p₁P₂|=1，a₂=|p₂P₃|=

2

，a₃=|p₃P₄|=2，a₄=|p₄P₅|=2

2

，…a_n=

2

^n-1，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1-(

2

)n

1-

2

，∴S₂₀=1023(1+

2

)，
故选C

点评：本题考查集合的性质和运算，解题时要注意等比数列前n项和公式的合理运用．

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