Question

在平面直角坐标系中，定义

xn+1=yn-xn yn+1=yn+xn

（n∈N）为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a_n=|P_nP_n+1|，数列{a_n}的前n项和是S_n，那么

lim

n→∞

Sn

an

的值为（　　）

• A、

  2

• B、2-

  2

• C、2
• D、1+

  2

Answer 1

分析：由题设知a₁=|（0，1）•（1，1）|=1，a₂=|（1，1）•（0，2）|=2，a₃=|（0，2）•（2，2）|=4，a₄=|（2，2）•（0，4）|=8，…a_n=2^n-1，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1．由此可求出

lim

n→∞

Sn

an

的值．

解答：解：由题设知p₁（0，1），P₂（1，1），p₃（0，2），P₄（2，2），P₅（0，4），…
∴a₁=|（0，1）•（1，1）|=1，a₂=|（1，1）•（0，2）|=2，
a₃=|（0，2）•（2，2）|=4，a₄=|（2，2）•（0，4）|=8，
…
∴a_n=2^n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=1+2+4+8+…+2^n-1=2ⁿ-1．
∴

lim

n→∞

Sn

an

=

lim

n→∞

2n-1

2n-1

=2．
故选C．

点评：本题考查集合的性质和运算，解题时要注意等比数列前n项和公式的合理运用．