Question

2．对于函数f（x）与g（x），若区间[a，b]上|f（x）-g（x）|的最大值称为f（x）与g（x）的“绝对差”，则f（x）=$\frac{1}{x+1}$，g（x）=$\frac{2}{9}$x²-x在[1，4]上的“绝对差”为（　　）

• A． $\frac{271}{72}$
• B． $\frac{23}{18}$
• C． $\frac{29}{45}$
• D． $\frac{13}{9}$

Answer 1

分析 由已知中关于f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上的“绝对差”的定义，我们构造函数F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{x+1}$-（$\frac{2}{9}$x²-x），根据函数的值域，及分析出F（x）＞0恒成立，再根据x∈[1，4]时F（x）的单调性，可得当x=2时F（x）=f（x）-g（x）取最大值，代入计算即可得到答案．

解答 解：令F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{x+1}$-（$\frac{2}{9}$x²-x），x∈[1，4]，
F′（x）=-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$-$\frac{4}{9}$x+1，
令F′（x）＞0，则1＜x＜2；令F′（x）＜0，则2＜x＜4．
即F（x）在（1，2）递增；在（2，4）递减．
则F（1）=$\frac{1}{2}$-（$\frac{2}{9}$-1）=$\frac{23}{18}$，F（4）=$\frac{1}{5}$-（$\frac{32}{9}$-4）=$\frac{29}{45}$，
即有x=2处取得最大值，且为$\frac{1}{3}$-（$\frac{8}{9}$-2）=$\frac{13}{9}$．
故函数的绝对差为$\frac{13}{9}$．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数、函数的单调性、不等式的解法，意在考查考生对新概念的理解，导数与函数单调性的综合应用，考查综合分析、解决问题的能力．