Question

1．已知F₁，F₂分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₁的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，则双曲线的渐近线方程为y=±2$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 设|AF₁|=t，|AB|=3x，根据双曲线的定义算出t=3x，x=a，Rt△ABF₂中算出cos∠BAF₂，可得cos∠F₂AF₁，在△F₂AF₁中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．

解答 解：设|AF₁|=t，|AB|=3x，则|BF₂|=4x，|AF₂|=5x，
根据双曲线的定义，得|AF₂|-|AF₁|=|BF₁|-|BF₂|=2a，
即5x-t=（3x+t）-4x=2a，解得t=3x，x=a，
即|AF₁|=3a，|AF₂|=5a，
∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，得△ABF₂是以B为直角的Rt△，
∴cos∠BAF₂=$\frac{3}{5}$，
可得cos∠F₂AF₁=-$\frac{3}{5}$，
△F₂AF₁中，|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₂AF₁
=9a²+25a²-2×3a×5a×（-$\frac{3}{5}$）=52a²，
可得|F₁F₂|=$2\sqrt{13}$a，即c=$\sqrt{13}$a，
因此b=2$\sqrt{3}$a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±2$\sqrt{3}$x．
故答案为：y=±2$\sqrt{3}$x．

点评 本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．