Question

9．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为A．若|OA|=2b，则该椭圆的离心率e为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 延长F₁P，与F₂A的延长线交于M点，连接AO，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OA的长恰好等于椭圆的长半轴a，即a=2b，运用a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意，延长F₁P，与F₂A的延长线交于M点，连接AO，
由PA是∠F₂PM的平分线，且PA⊥MF₂；
可得△F₂MP中，|PF₂|=|PM|且A为MF₂的中点，
由三角形中位线定理，得|OA|=$\frac{1}{2}$|MF₁|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF₁|）
由椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，（2a是椭圆的长轴），
可得|MP|+|PF₁|=2a，
即有|OA|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF₁|）=a，
由|OA|=2b，可得a=2b，即b=$\frac{1}{2}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．