Question

如图，半圆的直径的长为4，点平分弧，过作的垂线交于，交于．
（1）求证：：
（2）若是的角平分线，求的长．

Answer 1

（1）因为点平分弧，所以弧等于弧，且，所，所以与相似，所以．又因为，所以，即．
（2）．

解析试题分析：（1）首先根据点平分弧可得，弧等于弧，且，再由等弧所对的圆周角相等即，得到与相似，进而得到对应边成比例，将已知代入其中即可得出结论；
（2）由角平分线的定义知，，再由内错角相等得出平行，进而求出，，在中，易求的长度．
试题解析：（1）因为点平分弧，所以弧等于弧，且，所以，所以与相似，所以．又因为，所以，即．
（2）因为是的角平分线，所以，所以平行，所以
，，所以，．
考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．