Question

8．设m∈R，函数f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3，x∈R．
（1）当x∈[0，2]时，求函数y=f（x）的最大值；
（2）若存在x∈R，使得f（-x）+f（x）=0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3=（2^x-m）²-3，x∈[0，2]，可得2^x∈[1，4]．对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）存在x∈R，使得f（-x）+f（x）=0，可得4^-x-m•2^-x+1+m²-3+4^x-m•2^x+1+m²-3=0，令2^x+2^-x=t∈[2，+∞）．化为2m²-2tm+t²-8=0，t∈[2，+∞）．△≥0，又t∈[2，+∞）．解得t∈[2，4]．可得m=$\frac{t±\sqrt{16-{t}^{2}}}{2}$．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3=（2^x-m）²-3，
∵x∈[0，2]，∴2^x∈[1，4]．
当m≥4时，f（x）_max=f（0）=m²-2m-2．
当m≤1时，f（x）_max=f（2）=m²-8m+13．
当1＜m＜4时，f（x）_max={f（0），f（2）}_max．
（2）存在x∈R，使得f（-x）+f（x）=0，
∴4^-x-m•2^-x+1+m²-3+4^x-m•2^x+1+m²-3=0，
化为：2m²-2m（2^x+2^-x）+（2^x+2^-x）²-8=0，令2^x+2^-x=t∈[2，+∞）．
∴2m²-2tm+t²-8=0，t∈[2，+∞）．
△=4t²-8（t²-8）=4（16-t²）≥0，又t∈[2，+∞）．解得t∈[2，4]．
解得m=$\frac{t±\sqrt{16-{t}^{2}}}{2}$．
当m=$\frac{t+\sqrt{16-{t}^{2}}}{2}$时，m′=$\frac{1+\frac{-2t}{2\sqrt{16-{t}^{2}}}}{2}$=$\frac{\sqrt{16-{t}^{2}}-t}{2\sqrt{16-{t}^{2}}}$，
当$2≤t＜2\sqrt{2}$时，m′＞0，函数m（t）单调递增；当2$\sqrt{2}$＜t≤4时，m′＜0，函数m（t）单调递减．
∴当t=2$\sqrt{2}$时，m取得最大值，m（2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
又m（2）=1+$\sqrt{3}$，m（4）=2，∴m∈$[2，2\sqrt{2}]$．
当m=$\frac{t-\sqrt{16-{t}^{2}}}{2}$时，m∈$[1-\sqrt{3}，2]$．
综上可得：m的取值范围是：$[1-\sqrt{3}，2\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了指数函数与二次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．