Question

已知动圆过定点，且与直线相切.

(1)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

⑴；⑵。

（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为
，由题意知：， ………………………………………………2分
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， ∴动点的轨迹方程为 ………………………5分
（2）由题可设直线的方程为，
由得  
△， ………………………………………………………………………………7分
设，，则， 
由，即，，于是，
即，，
，解得或（舍去），…………………………………10分
又，  ∴直线存在，其方程为 ………………………………12分