Question

11．求函数y=$\frac{2+sinx}{2-cosx}$的值域是[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]．

Answer 1

分析 可将原函数变成sinx+ycosx=2y-2，可根据两角和的正弦公式得到sin（x+φ）=$\frac{2y-2}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$，而根据|sin（x+φ）|≤1便得到$\frac{|2y-2|}{\sqrt{1+{y}^{2}}}≤1$，解该不等式即可得出原函数的值域．

解答 解：由原函数得：2y-ycosx=2+sinx；
∴sinx+ycosx=2y-2；
∴$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（x+φ）=2y-2；
∴sin（x+φ）=$\frac{2y-2}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$；
∴$\frac{|2y-2|}{\sqrt{1+{y}^{2}}}≤1$，两边平方并整理得：
3y²-8y+3≤0；
解得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}≤y≤\frac{4+\sqrt{7}}{3}$；
∴原函数的值域为：$[\frac{4-\sqrt{7}}{3}，\frac{4+\sqrt{7}}{3}]$．
故答案为：[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]．

点评 考查函数值域的概念，由两角和的正弦公式：asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+φ），正弦函数的值域，通过两边平方解无理不等式及含绝对值不等式的方法，解一元二次不等式．