Question

19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：

	微信控	非微信控	合计
男性	26	24	50
女性	30	20	50
合计	56	44	100

（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k0	0.455	0.708	1.323	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）计算K²的值，与临界值比较，可得结论；
（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．
（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由题意，K²=$\frac{100×（26×20-30×24）^{2}}{56×44×50×50}$≈0.65＜0.708，
∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；
（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；
（3）X=1，2，3，则
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=0.3，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=0.6，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=0.1．
X的分布列为：

X	1	2	3
P	0.3	0.6	0.1

X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．

点评 本题主要考查独立性检验、分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．