题目内容
已知函数y=f（x）=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y最小=-4，那么p=
6
6
，q=9
9
．分析：设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x2+px+q）．由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x，再利用y极小值=-4，可求a=-3，从而可求p，q的值．
解答：解：设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x2+px+q）
由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a
故可得f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x
f′（x）=3x2-4ax+a2=（x-a）（3x-a）
令f′（x）=0，则x=a或
∵f（a）=0≠-4，
∴f(
)=-4
于是
•(
-a)2=-4，
∴a=-3
∴f（x）=x3+6x2+9x
∴p=6，q=9
故答案为：6；9．
由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a
故可得f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x
f′（x）=3x2-4ax+a2=（x-a）（3x-a）
令f′（x）=0，则x=a或
| a |
| 3 |
∵f（a）=0≠-4，
∴f(
| a |
| 3 |
于是
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
∴a=-3
∴f（x）=x3+6x2+9x
∴p=6，q=9
故答案为：6；9．
点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题．
练习册系列答案
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