Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax．
（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=3时，求出f（x）的极值：
（III）在（I）的条件下，若f(x)≤

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x²-ax（x＞0），则f′（x）=

1

x

+2x-a（x＞0）．
∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即

1

x

+2x-a≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴

1

x

+2x≥a．
∵当x＞0时，

1

x

+2x≥2

2

，当且仅当

1

x

=2x，即x=

2

2

时等号成立．
∴a的取值范围是（-∞，2

2

]；
（Ⅱ）当a=3时，f′(x)=

(2x-1)(x-1)

x

(x＞0)
当0＜x＜

1

2

或x＞1时，f′（x）＞0，
当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增函数，在（

1

2

，1）上是减函数，
∴f（x）_极大值=f（

1

2

）=-

5

4

-ln2，f（x）_极小值=f（1）=-2
（III）设g(x)=f(x)-

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)=lnx-

1

2

x2+(3-a)x-

1

2x2

∴g′（x）=(

1

x

-x)+(3-a)+

1

x3

∵a∈（-∞，2

2

]，且x∈（0，1]
∴g′（x）＞0
∴g（x）在（0，1）内为增函数
∴g（x）_max=g（1）=2-a
∵f(x)≤

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)在x∈（0，1]内恒成立，
∴2-a≤0，解得a≥2．