Question

已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥

2(x-1)

x+1

恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x₀=

x1+x2

2

时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）对x分类讨论，利用导数研究其单调性、极值与最值即可得出；
（2）构造函数令g(x)=lnx+

4

x+1

(x≥1)，利用导数研究其单调性与极值即可得出；
（3）利用斜率计算公式和导数的几何意义即可得出关于t=

x2

x1

的关系式，再利用（2）的结论即可判断出是否存在．

解答：解：（1）x∈(0，e)时， f(x)=x2+2(1-lnx)，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，
令f′（x）＞0得x∈（1，e）；f′（x）＜0得x∈（0，1）．
∴f′（x）在（0，1]上单减，在[1，e）上单增；
x∈[e，+∞)时， f(x)=x2+2(lnx-1)， f′(x)=2x+

2

x

＞0对x∈[e，+∞)恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）单调递增．
故f（x）_min=f（1）=3．
（2）由lnx≥

2(x-1)

x+1

=2-

4

x+1

?lnx+

4

x+1

≥2
令g(x)=lnx+

4

x+1

(x≥1)，
则g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
因为x≥1，显然g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）上递增，
显然有g（x）≥g（1）=2恒成立．（当且仅当x=1时等号成立），即证．      
（3）当x≥e时，f（x）=x²+2（lnx-1），f′(x)=2x+

2

x

，假设函数f（x）存在“中值伴侣切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则y1=x12+2(lnx1-1)，y2=x22+2(lnx2-1)．
故直线AB的斜率：kAB=

y1-y2

x1-x2

=

[x12+2(lnx1-1)]-[x22+2(lnx2-1)]

x1-x2

=(x1+x2)+2•

lnx1-lnx2

x1-x2

．
曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率：
k=f′（x₀）=f′(

x1+x2

2

)=(x1+x2)+

4

x1+x2

．
依题意得：(x1+x2)+2•

lnx1-lnx2

x1-x2

=(x1+x2)+

4

x1+x2

化简可得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．
设

x2

x1

=t(t＞1)，上式化为由lnt=

2(t-1)

t+1

，由（2）知t＞1时，lnt+

4

t+1

＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值伴侣切线”．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义、分类讨论思想方法、斜率的计算公式、问题等价转化等是解题的关键．