Question

18．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2）上的值域．

Answer 1

分析 （1）二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=2．设出f（x）=ax²+bx+c，利用待定系数法求解．
（2）根据二次函数的图象及性质求解在[-3，2）上的值域．

解答 解：（1）由题意：设函数f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=2．
∴c=2，
∴f（x）=ax²+bx+2，
又∵f（x+1）-f（x）=2x+3，
∴a（x+1）²+b（x+1）+2-ax²-bx-2=2x+3，
化简得：2ax+a+b=2x+3，
由2a=2，a+b=3，
解得：a=1，b=2
故得函数f（x）的解析式：f（x）=x²+2x+2．
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+2，
开口向上，对称轴x=-1，
根据二次函数的图象及性质可得：
函数f（x）在x∈[-3，-1）上是单调递减，在（-1，1）上是单调递增．
当x=-1时，函数f（x）取得最小值为1；
当x＜2时，函数f（x）取得值小于10；
f（x）在[-3，2）上的值域为[1，10）．

点评 本题考查了二次函数的解析式求法，利用待定系数法，以及二次函数的图象及性质的运用．属于基础题．