Question

9．若直线kx-y+6-3k=0与曲线y=$\sqrt{9-{x^2}}$有两个交点，则k的范围为：$（\frac{3}{4}，1]$．

Answer 1

分析 由条件化简可得半圆和直线有两个相异的交点，如图所示，求出斜率，可得实数k的取值范围．

解答 解：曲线y=$\sqrt{9-{x^2}}$，
即x²+y²=9（y≥0），
表示以M（0，0）为圆心，
半径等于3的一个半圆．
直线kx-y+6-3k=0即 k（x-3）-y+6=0，经过定点N（3，6）．
再根据半圆和直线有两个相异的交点，
如图所示：
由题意可得，直线和半圆相切，k=$\frac{3}{4}$，
直线过（-3，0），斜率，1，
故所求的实数k的范围为$（\frac{3}{4}，1]$．
故答案为$（\frac{3}{4}，1]$．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．