Question

在直角坐标系中，已知A（cosx，sinx），B=（1，1），O为坐标原点，，f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的对称中心的坐标及其在区间[-π，0]上的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x₀）=3+，x₀，求tanx₀的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A（cosx，sinx），B=（1，1），
∴=（cosx，sinx），=（1，1），
∴=（1+cosx，1+sinx）…（2分）
∴f（x）==（1+cosx）²+（1+sinx）²=3+2（sinx+cosx）=3+2sin（x+）…（4分）
由x+=kπ，k∈Z，即x=kπ-，∴对称中心是（kπ-，3），k∈Z
当2kπ+≤x+≤2kπ+时，f（x）单调递减，即2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z
∴f（x）的单调递减区间是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z…（6分）
∴f（x）在区间[-π，0]上的单调递减区间为[-π，-]．…（8分）
（Ⅱ）∵f（x₀）=3+2sin（x₀+）=3+，
∴sin（x₀+）=
∵x₀，∴x₀+=，∴x₀=
∴tanx₀=tan=tan（+）=-2-．…（12分）
分析：（Ⅰ）先利用向量知识，求得f（x）的解析式，再求f（x）的对称中心的坐标及其在区间[-π，0]上的单调递减区间；
（Ⅱ）利用f（x₀）=3+，x₀，求得x₀的值，再求tanx₀的值．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的学生，解题的关键是确定函数的解析式，属于中档题．