Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a＜0，且f（x）在区间（0，e]上的最大值为-2，求a的值；
（3）当a=-1时，试证明：x|f（x）|＞lnx+

1

2

x．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，求出最大值，利用f（x）在区间（0，e]上的最大值为-2，求a的值；
（3）即要证明|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

，证明|f（x）|≥1，

lnx

x

+

1

2

＜1即可．

解答： （1）解：∵f（x）=ax+lnx，
∴f′（x）=

ax+1

x

，…（1分）
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（3分）
当a＜0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

，令f′（x）＜0解得x＞-

1

a

，
故f（x）的单调增区间为（0，-

1

a

），f（x）的单调减区间为（-

1

a

，+∞）…（5分）
（2）解：由（1）知，
①当-

1

a

≥e，即a≥-

1

e

时，f（x）在（0，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0舍；…（7分）
②当0＜-

1

a

＜e，即a＜-

1

e

时，f（x）在（0，-

1

a

）上递增，在（-

1

a

，e）上递减，
f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

），令-1+ln（-

1

a

）=-2，得a=-e  …（9分）
（3）证明：即要证明|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

，…（10分）
由（1）知当a=-1时，f（x）_max=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1，…（11分）
又令φ（x）=

lnx

x

+

1

2

，则φ′（x）=

1-lnx

x2

，…（12分）
故φ（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，…（13分）
故φ（x）≤φ（e）=

1

e

+

1

2

＜1…（14分）
即证明|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

，
∴x|f（x）|＞lnx+

1

2

x．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最大值，考查不等式的证明，正确求导，确定函数的最值是关键．