Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，

an+1+an

an

=

an+2-an+1

an+1

（n∈N⁺）（Ⅰ） 试求a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）记数列{

an

an+2

}（n∈N⁺}的前n项和为S_n，若对n∈N⁺恒有a²-a＞S_n+

1

2

，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b_n=

an+1

an

，则b_n+1-b_n=2，从而可证数列{b_n} 为等差数列，然后利用累乘法求出a_n，从而求出a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）先求 Sn=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

，从而有a²-a≥

1

4

+

1

2

，故可求a的取值范围．

解答：解：（I）令bn=

an+1

an

，则b_n+1-b_n=2，又b1=

a2

a1

=2
故{b_n}为首项为2，公差为2的等差数列，b_n=2n
∴bn=

an+1

an

=2n
累乘可得a_n=a^n-1（n-1）!于是a₂₀₁₁=2²⁰¹⁰×2010!
（Ⅱ） bn=2n，

an

an+2

=

1

bnbn+1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，∴Sn=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

若对n∈N⁺恒有a²-a＞S_n+

1

2

，∴a²-a≥

1

4

+

1

2

，解得 a≥

3

2

或a≤-

1

2

点评：本题主要考查了数列的通项公式的求法，并借助裂项求和，将恒成立问题转化为通过求最值，从而转化为解不等式，进而求出参数的范围．