Question

【题目】已知函数 .

（1）求函数的极小值；

（2）求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）由题意可得分类讨论函数的极小值即可.

（2）令，原问题等价于,即证.据此分类讨论，和三种情况即可证得题中的结论.

（1）

当时，即时，，函数在上单调递增，无极小值；

当时，即时，，函数在上单调递减；

，函数在上单调递增；

，

综上所述，当时，无极小值；当时，

（2）令

当时，要证：，即证,即证，

要证，即证.

①当时，

令，，所以在单调递增，

故，即.

，

令，，

当，在单调递减；，在单调递增，故，即.当且仅当时取等号

又，

由、可知

所以当时，

②当时，即证.令，，在上单调递减，在上单调递增，，故

③当时，当时，，由②知，而，

故；

当时，，由②知，故；

所以，当时，.

综上①②③可知，当时，.