Question

【题目】已知a为实数，函数f(x)＝aln x＋x2－4x.

(1)是否存在实数a，使得f(x)在x＝1处取得极值？证明你的结论；

(2)设g(x)＝(a－2)x，若x0∈，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据反证法求解，利用求得后再根据函数的单调性判断，可得结论不成立．（2）问题等价于x0∈，使得(x0－ln x0)a≥－2x0成立，经验证可得x0－ln x0>0，分离参数后得到“x0∈，使得成立”，然后令，求出的最小值后可得所求的范围．

(1)由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

∵f(x)＝aln x＋x2－4x，

∵f′(x)＝＋2x－4＝．

假设存在实数a，使f(x)在x＝1处取得极值，

则，解得a＝2，

此时，f′(x)＝，

当x>0时，f′(x)≥0恒成立，

∴ f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴ x＝1不是f(x)的极值点．

故不存在实数a，使得f(x)在x＝1处取得极值．

(2)由f(x0)≤g(x0)，得(x0－ln x0)a≥x－2x0，

记F(x)＝x－ln x(x>0)，则F′(x)＝ (x>0)，

∴ 当0<x<1时，F′(x)<0，F(x)单调递减；

当x>1时，F′(x)>0，F(x)单调递增．

∴ F(x)>F(1)＝1>0，

∴ a≥，

记G(x)＝，x∈，

∴G′(x)＝＝．

∵ x∈，

∴ 2－2ln x＝2(1－ln x)≥0，

∴ x －2ln x＋2>0，

∴ 当x∈时，G′(x)<0，G(x)单调递减；

当x∈(1，e)时，G′(x)>0，G(x)单调递增，

∴ G(x)min＝G(1)＝－1．

∴ a≥G(x)min＝－1．

故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．