题目内容

无穷数列{an}满足：(λ≥0为常数)．

(1)若a1＝1且数列{nan}为等比数列，求λ；

(2)已知a1＝1，λ＝3，若50＜am＜80，求m；

(3)若存在正整数N，使得当n＞N时，有an+1＜an，求证：存在正整数M，使得当n＞M时，有an＜0．

答案：
解析：

　　解：(1)

　　

　　由为等比数列，知λn－2与n无关，故λ＝0．

　　当λ＝0时，数列是以１为首项，以－2为公比的等比数列．

　　(2)当λ＝3时，．

　　取n为1，2，3，，累乘得：

　　　(n≥2)．

　　∵a1＝1

　　

　　当n≥2时，．

　　而a4＜50，a5＝56，a6＞80，

　　∴m＝5

　　(3)当λ＝0时，，说明an+1与an异号，此时不存在正整数N，使得当n＞N时，有an+1＜an．

　　当λ＞0时，必存在正整数N0(取大于的正整数即可)，使得当n＞N0时，有，即存在正整数N0，使得当n＞N0时，有；

　　因为存在正整数N，使得当n＞N时，恒有an+1＜an成立，

　　取N1为N0与N的较大者，则必存在正整数M≥N1，使得当n＞M时，an＜0．

　　∴存在正整数M，使得当n＞M时，有an＜0．

　　命题意图：数列中涉及恒成立或存在性的问题，往往和最大(小)值及单调性有关，常见做法是用an+1和an进行作差、作商、比较或构造函数来判断；通过本题的练习，希望学生能根据题目的条件和结论获取信息，抓住特点，进行代数推理论证；本题第(3)问也可用反证法说明，解题中要重视它的运用．


练习册系列答案
相关题目
（2013•房山区一模）对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号＜x＞表示．例＜1.2＞=0.2，＜-1.2＞=0.8，＜
8
7
＞=
1
7
．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=＜a＞，an+1=
＜
1
an
＞ an≠0
0        an=0
，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a=
2
，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当a＞
1
4
时，对任意的n∈N+，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
（Ⅲ）若a是有理数，设a=
p
q
 （p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．
（2013•上海）已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
（2013•杨浦区一模）对于实数a，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=|a，an+1=
||
1
an
 ||，an≠0
0，an=0
其中n=1，2，3，…
（1）若a=
2
，求数列{an}；
（2）当a＞
1
4
时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
（3）若a是有理数，设a=
p
q
 （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，并证明你的结论．
已知无穷数列{an}满足a1=2，数列{(
1
2
)an}是各项和等于
2b
2b+2-4
的无穷等比数列，其中常数b是正整数．
（1）求无穷等比数列{(
1
2
)an}的公比和数列{an}的通项公式；
（2）在无穷等比数列{bn}中，b1=a1，b2=a2，试找出一个b的具体值，使得数列{bn}的任意项都在数列{an}中；试找出一个b的具体值，使得数列{bn}的项不都在数列{an}中，简要说明理由；
（3）对于问题（2）继续进行研究，探究当且仅当b取怎样的值时，数列{bn}的任意项都在数列{an}中，说明理由．
对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号{x}表示．例如{1.2}=0.2，{-1.2}=0.8，{
8
7
}=
1
7
．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1={a}，an+1=
1
an
  ，an≠0
0， an=0
  其中n=1，2，3，…．
（1）若a=
2
，求a2，a3 并猜想数列{a}的通项公式（不需要证明）；
（2）当a＞
1
4
时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
（3）若a是有理数，设a=
p
q
 （p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网